Azért az egész dolog abban áll, hogy ezen hányadost, mellyet betűvel szokás kifejezni, határozzuk meg; mert ha a' kög' sugarát , átmérőjét teszszük, úgy külszine és köre . Ha r = 1 , külszine lenne ; tévén pedig d=1, köre lesz . Igy tehát azon kög' külszinét jelenti, mellynek sugara = 1, vagy azon kög' körét, mellynek áltmérője = 1.
Ezen számot eddig elé főkép két utón keresek a mathematikusok. Ha a' kögbe, mellynek sugara = 1 , valamelly rendes sokszeget (polygonum) irok, mást pedig arra körülírok; a' kög nagyobb lesz a' beirottnál 's kisebb a' körülirottnál, következőleg mindegyiktől kevesbet különböz, mint azok egymástól. Kettőztetvén folyvást mind egyiknek mind másiknak oldalait, a' kögöt mind inkább 's inkább egymáshoz közelítő határok közé szorítom 's igy hozzá annál inkább közelítek. Így tehát végbe vihetem, hogy a' kög akár a' beirott akár a' körülirott sokszegtől kevesbet különbözzön minden adatható nagyságnál. Ha pedig a' sokszegek' kerületét akarom kiszámítani; épen azt kell érteni a' körről, mit a' kög' területéről mondottam, csakhogy ekkor az áltmérőt kell = 1 tenni. Illy, egymástői nagyon csekéyet különböző, rendes sokszegeket sokféle uton kerestek vagy legalább lehetne keresni 's ezekről minden térmérési jó tanítókönyv legalább némelly vezérgondolatokat közöl ; azért elég lészen csak egyet kettőt említeni.
a) A' kögbe irt rendes n szeg (1. kép) AB oldalából = a mindig kiszámíthatni a' beirt rendes 2n szeg AD oldalát = b. Mert tévén a' sugarat = 1 , lesz
.
![{\displaystyle b^{2}={\frac {a^{2}}{4}}+DE^{-2}={\frac {a^{2}}{4}}+\left(1-{\sqrt {[1-{\frac {a^{2}}{4}}]}}\right)^{2}=2-2{\sqrt {(1-{\frac {a^{2}}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4312b48d8df625d03b24f25517830a75be28f86)
Tehát 1.) .
Ezen egyenlet' folytonfolyó alkalmaztatása által a' 2n szeg, 4n szeg, 8n szeg' 'stb. oldalainak kiszámítására könnyű kifejteni ezen formulákat :
![{\displaystyle {\sqrt {(2-{\sqrt {[4-a^{2}]}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7063f898d29909de1eed4eb37dd5a15e7688286b)
![{\displaystyle {\sqrt {(2-{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e298379be067e6b5f1ce0c9c2b2d50f6de3ae113)
![{\displaystyle {\sqrt {(2-{\sqrt {(2+{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}})}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c14e241ee6c4a5c83019fe053f315adb5a91d42)
![{\displaystyle {\sqrt {(2-{\sqrt {(2+{\sqrt {[2+{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}}]}})}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8441c2081e1b8447cacb4aa0bb49578371dffbd)
's. i. t. mellyek' törvénye elég világos.
