A kög négyszegítéséről

VII. A' kög négyszegítéséről ^[1])

A' mathesis már több mint két ezer év óta dicsekszik semmi más tudománytól el nem ért nyilvánságával; vannak mindazáltal nehézségei és fogyatkozásai, mellyeket teljesen elhárítani a' legélesb elméjű nyomozónak sem sikerült. Ezek' némellyikét csak az avatottak látják; következőleg csak ők vehetik figyelemre 's legyőzésén csak ők törekedhetnek. Némellyeket ellenben a' legrepkényebb elme is észre vehet, 's ezeket természetesen kiki esméri, ki csak megizelíté e'tudományt. A' mathesis' eme' fogyatkozott részéhez számlálják rendszerént a' kög' négyszegítését. Ezen feladás a' tizenötödik század óta soknak volt időpazarló 's erőt ölő veszszőparipája, sőt hazánkban is már néhányan jelentek meg ezen, sok bajjal járó de koszorúval nem igen biztató, pályán. Ha, kik e' kérdéssel bajlódnak, azt mivoltikép értenék; alig ereszkednének illy hálaadatlan fejtegetésbe. Honnan talán nem lesz szükségtelen előadni: miben áll tulajdonkép ezen feladás, mit tettek feloldására a' legjelesb fők, s mit gondolhatni még elérhetőnek.

Négyszegíteni a' kögöt annyit tesz, mint olly négyzetet (quadratum) készíteni, melly annak külszinével (superficies) megegyez. Rendszerint az is kívántatik, hogy ezen alkotás egyedül egyenes vonal és kör által vitessék végbe. A' négyzet' külszinét számmal fejezzük ki és viszont készíthetünk olly négyzetet, mellynek külszinét bizonyos adott szám fejezi ki; honnan a' kög' négyszegítése tulajdonkép azon szám' felkeresésében áll, melly külszinét kifejezi.

Már az Archimedes megmutatta állításokból következik, hogy a' kiig' külszinét úgy lehet kiszámítani, ha sugara' második hatalmát az áltmérője (diameter) és köre közti viszony' hányadosával sokszorozzuk. Azért az egész dolog abban áll, hogy ezen hányadost, mellyet $\pi$ betűvel szokás kifejezni, határozzuk meg; mert ha a' kög' sugarát $=r$ , átmérőjét $d=2r$ teszszük, úgy külszine $=\pi r^{2}$ és köre $=\pi d=2\pi r$ . Ha r = 1 , külszine lenne $\pi \times 1=\pi$ ; tévén pedig d=1, köre lesz $\pi \times 1=\pi$ . Igy tehát $\pi$ azon kög' külszinét jelenti, mellynek sugara = 1, vagy azon kög' körét, mellynek áltmérője = 1.

Ezen $\pi$ számot eddig elé főkép két utón keresek a mathematikusok. Ha a' kögbe, mellynek sugara = 1 , valamelly rendes sokszeget (polygonum) irok, mást pedig arra körülírok; a' kög nagyobb lesz a' beirottnál 's kisebb a' körülirottnál, következőleg mindegyiktől kevesbet különböz, mint azok egymástól. Kettőztetvén folyvást mind egyiknek mind másiknak oldalait, a' kögöt mind inkább 's inkább egymáshoz közelítő határok közé szorítom 's igy hozzá annál inkább közelítek. Így tehát végbe vihetem, hogy a' kög akár a' beirott akár a' körülirott sokszegtől kevesbet különbözzön minden adatható nagyságnál. Ha pedig a' sokszegek' kerületét akarom kiszámítani; épen azt kell érteni a' körről, mit a' kög' területéről mondottam, csakhogy ekkor az áltmérőt kell = 1 tenni. Illy, egymástői nagyon csekéyet különböző, rendes sokszegeket sokféle uton kerestek vagy legalább lehetne keresni 's ezekről minden térmérési jó tanítókönyv legalább némelly vezérgondolatokat közöl ; azért elég lészen csak egyet kettőt említeni.

a) A' kögbe irt rendes n szeg (1. kép) AB oldalából = a mindig kiszámíthatni a' beirt rendes 2n szeg AD oldalát = b. Mert tévén a' sugarat = 1 , lesz

$b^{2}={\frac {a^{2}}{4}}+DE^{-2}={\frac {a^{2}}{4}}+\left(1-{\sqrt {[1-{\frac {a^{2}}{4}}]}}\right)^{2}=2-2{\sqrt {(1-{\frac {a^{2}}{4}})}}$ .

Tehát 1.) $b={\sqrt {(2-{\sqrt {(4-a^{2})}})}}$ .

Ezen egyenlet' folytonfolyó alkalmaztatása által a' 2n szeg, 4n szeg, 8n szeg' 'stb. oldalainak kiszámítására könnyű kifejteni ezen formulákat :

${\sqrt {(2-{\sqrt {[4-a^{2}]}})}}$

${\sqrt {(2-{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}})}}$

${\sqrt {(2-{\sqrt {(2+{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}})}})}}$

${\sqrt {(2-{\sqrt {(2+{\sqrt {[2+{\sqrt {[2+{\sqrt {(4-a^{2})}}]}}]}})}})}}$

↑ Quadratura circuli. Kög annyi, mint latinul circulus; különboztelés végett a' kör szótól, melly annyi, mint peripheria circuli. Határozottság a' műszó' egyik főtulajdona: nem látszék tehát czéliránytalannak az elavult kög szót feléleszteni; annál is inkább, mivel illy értelemben ott áll Molnár Albertnél, Pápai Paris Ferencznél, Szabó Dávidnál; így él vele Lippai : „Gyümölcsös kert. Bécsb. MDCLXVII" a' 130 lap., Dugonics tudákossága második darabjában; ajánlja Boldogréti Vig László: „Versegi megfogyatkozott okoskodása" a' 210 lap. így: „Megvagyon Pápai Paris Ferencznél a' kög azon jelentéssel: circulus. Megegyez ebben velünk, egyéb tudományokon kivül a' földmérésben is járatos arabs nemzet, él azzal ige' képében is. Mért nem vehetnők fel saját szavunkat ezen egyező szokásból?", hasonlót tanácsol Pápai Sámuel „a' Magyar Literatura' esmérete" 274. lap., sőt Révai (Elaboratior Grammatica Hung. Pest. MDCCCVI. Vol. I. a' 434. lap.) példa gyanánt él vele a' szóragasztásban. Bárcsak szebben hangzanék, hogy erre nézve is lehelne ajánlani.

[1] Quadratura circuli. Kög annyi, mint latinul circulus; különboztelés végett a' kör szótól, melly annyi, mint peripheria circuli. Határozottság a' műszó' egyik főtulajdona: nem látszék tehát czéliránytalannak az elavult kög szót feléleszteni; annál is inkább, mivel illy értelemben ott áll Molnár Albertnél, Pápai Paris Ferencznél, Szabó Dávidnál; így él vele Lippai : „Gyümölcsös kert. Bécsb. MDCLXVII" a' 130 lap., Dugonics tudákossága második darabjában; ajánlja Boldogréti Vig László: „Versegi megfogyatkozott okoskodása" a' 210 lap. így: „Megvagyon Pápai Paris Ferencznél a' kög azon jelentéssel: circulus. Megegyez ebben velünk, egyéb tudományokon kivül a' földmérésben is járatos arabs nemzet, él azzal ige' képében is. Mért nem vehetnők fel saját szavunkat ezen egyező szokásból?", hasonlót tanácsol Pápai Sámuel „a' Magyar Literatura' esmérete" 274. lap., sőt Révai (Elaboratior Grammatica Hung. Pest. MDCCCVI. Vol. I. a' 434. lap.) példa gyanánt él vele a' szóragasztásban. Bárcsak szebben hangzanék, hogy erre nézve is lehelne ajánlani.

[1]